\section{航天器动力学}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection}
航天器是自由体，同时具有平动和转动运动。\\
\vspace{40pt}
\paragraph{轨道动力学}平动分量是轨道动力学的研究主题。\\
\paragraph{姿态动力学}转动分量是姿态动力学的研究主题。\\
\vspace{40pt}
将会看到这两类运动本质上是解耦的，可以分开处理。
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{物理向量}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
物理量包括：
\begin{itemize}
    \item 向量：
    \begin{itemize}
        \item \textcolor{blue}{大小}
        \item \textcolor{blue}{方向}
    \end{itemize}
    \item 标量：
    \begin{itemize}
        \item \textcolor{blue}{大小}
    \end{itemize}
\end{itemize}
\begin{center}\includegraphics{fig_7_1.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.1：} 物理向量\end{center}
一个物理向量
\begin{itemize}
    \item 表示为 $\vec r$。
    \item 可用箭头图形化表示。
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
运算：
\textcolor{blue}{加法}：首尾相接。
\begin{center}\includegraphics{fig_7_2.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.2：} 向量加法\end{center}
\textcolor{blue}{向量 \(\vec{r}\) 与标量 \(a\) 的乘法}：
\begin{itemize}
    \item 大小：量值缩放 \(|a|\) 倍。
    \item 方向：若 \(a\) 为正，方向不变；若 \(a\) 为负，方向反转。
\end{itemize}
\textcolor{blue}{标量积}：给定向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\)，两者间的标量（点）积定义为
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} \triangleq |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \]
其中 \(0 \leq \theta \leq 180^\circ\) 是两个向量间的最小夹角。
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
\textcolor{blue}{向量叉积}：给定向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\)，叉积定义为向量 \(\vec{c}\)，记作 \(\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}\)，其\textcolor{blue}{大小}为
\[ |\vec{a} \times \vec{b}| \triangleq |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta \]
其\textcolor{blue}{方向}垂直于 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 所在平面，由右手定则确定。
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{参考系与物理向量坐标}
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\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
\begin{itemize}
    \item 为便于计算，需引入参考系的概念。
    \item 参考系也用于描述物体朝向，是运动学和动力学建模的基础。
\end{itemize}
\begin{center}\includegraphics{fig_7_3.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.3：} 参考系\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
定义参考系时（例如标记为 \( F_1 \) 的参考系1），通常需指定三个相互垂直的单位长度（长度为1）物理向量，分别记为 \(\vec{x}_1\)、\(\vec{y}_1\)、\(\vec{z}_1\)。
\begin{center}\includegraphics{fig_7_4.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.4：} 参考系\end{center}
这三个向量即构成该参考系。
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
由于这三个单位向量构成了三维物理空间的基，任何物理向量 \(\vec{r}\) 都可表示为这些单位向量的线性组合，即
\[ \vec{r} = r_{x,1}\vec{x}_1 + r_{y,1}\vec{y}_1 + r_{z,1}\vec{z}_1 \]
\begin{center}\includegraphics{fig_7_5.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.5：} 物理向量\end{center}
其中 \(r_{x,1}\)、\(r_{y,1}\)、\(r_{z,1}\) 是向量 \(\vec{r}\) 在参考系 \(\mathcal{F}_1\) 中的\textcolor{blue}{坐标}。
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
\vspace{-2pt}
将 \(\vec{r}\) 在 \(\mathcal{F}_1\) 中的\textcolor{blue}{坐标}表示为列矩阵：
\vspace{-2pt}
\[
r_1 = 
\begin{bmatrix}
r_{x,1} \\
r_{y,1} \\
r_{z,1}
\end{bmatrix}
\]
\vspace{-2pt}
并将定义 \(\mathcal{F}_1\) 的单位物理向量表示为列矩阵：
\vspace{-2pt}
\[
\vec{\mathcal{F}}_1 = 
\begin{bmatrix}
\vec{x}_1 \\
\vec{y}_1 \\
\vec{z}_1
\end{bmatrix}
\]
\vspace{-2pt}
则有：
\vspace{-2pt}
\[
\vec{r} = \vec{\mathcal{F}}_1^T r_1
\]
\vspace{-8pt}
\begin{center}\includegraphics{fig_7_5.pdf}\end{center}
\vspace{-6pt}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.6：} 物理向量\end{center}
\end{frame}

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\subsection{旋转矩阵}
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\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
航天器动力学问题通常涉及多个参考系的使用。
\begin{itemize}
    \item 例如，要描述航天器相对于地球的方位，通常将一个参考系（如 \(\mathcal{F}_1\)）固定于地球，另一个参考系（如 \(\mathcal{F}_2\)）固定于航天器本体。
    \item 航天器相对于地球的方位可通过参考系 \(\mathcal{F}_2\) 相对于 \(\mathcal{F}_1\) 的取向来描述。
\end{itemize}
\begin{block}{定义 7.1}
    在航天器术语中，我们将这种取向称为\textcolor{red}{姿态}。
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
考虑两个参考系：由单位向量 \(\vec{x}_1\)、\(\vec{y}_1\) 和 \(\vec{z}_1\) 定义的 \(\mathcal{F}_1\)，以及由单位向量 \(\vec{x}_2\)、\(\vec{y}_2\) 和 \(\vec{z}_2\) 定义的 \(\mathcal{F}_2\)。
\begin{center}\includegraphics{fig_7_7.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.7：} 多参考系系统\end{center}
对于任意向量 \(\vec{r}\)，可分别在两个参考系中表示为：
\[ \vec{r} = \vec{F}_1^T r_1 = \vec{F}_2^T r_2 \]
其中 \( r_1 \) 和 \( r_2 \) 分别包含向量 \(\vec{r}\) 在参考系 \(\mathcal{F}_1\) 和 \(\mathcal{F}_2\) 中的坐标。
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
两边左乘 \(\vec{F}_2^T\) 可得：
\[ \vec{F}_2 \cdot \vec{F}_1^T r_1 = \vec{F}_2 \cdot \vec{F}_2^T r_2 \]
定义旋转矩阵：
\[
C_{21} = \vec{F}_2 \cdot \vec{F}_1^T = 
\begin{bmatrix}
\vec{x}_2 \cdot \vec{x}_1 & \vec{x}_2 \cdot \vec{y}_1 & \vec{x}_2 \cdot \vec{z}_1 \\
\vec{y}_2 \cdot \vec{x}_1 & \vec{y}_2 \cdot \vec{y}_1 & \vec{y}_2 \cdot \vec{z}_1 \\
\vec{z}_2 \cdot \vec{x}_1 & \vec{z}_2 \cdot \vec{y}_1 & \vec{z}_2 \cdot \vec{z}_1
\end{bmatrix}
\]
考虑到 \(\vec{F}_2 \cdot \vec{F}_2^T = I\)，最终得到：
\[
r_2 = C_{21} r_1
\]
\begin{block}{定义 7.2}
    矩阵 \( C_{21} \) 称为\textcolor{red}{旋转矩阵}。
\end{block}
\end{frame}

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\subsection{基本旋转}
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\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
\begin{block}{定义 7.3}
    \textcolor{red}{基本旋转}是指绕坐标轴的旋转。
\end{block}
\begin{center}
    \includegraphics{fig_7_8_1.pdf}
    \includegraphics{fig_7_8_2.pdf}
    \includegraphics{fig_7_8_3.pdf}
\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.8：} 基本旋转示意图\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
当参考系 \(\mathcal{F}_2\) 由 \(\mathcal{F}_1\) 绕 z 轴旋转得到时，对应的旋转矩阵为：
\[
C_z(\theta_z) = 
\begin{bmatrix}
\cos\theta_z & \sin\theta_z & 0 \\
-\sin\theta_z & \cos\theta_z & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
下标"z"表示绕 z 轴旋转角度 \(\theta_z\)。对于绕 y 轴和 x 轴的旋转：
\[
C_y(\theta_y) = 
\begin{bmatrix}
\cos\theta_y & 0 & -\sin\theta_y \\
0 & 1 & 0 \\
\sin\theta_y & 0 & \cos\theta_y
\end{bmatrix}, \quad
C_x(\theta_x) = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos\theta_x & \sin\theta_x \\
0 & -\sin\theta_x & \cos\theta_x
\end{bmatrix}
\]
\end{frame}

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\subsection{基本旋转}
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\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
欧拉定理由莱昂哈德·欧拉于1775年提出。
\begin{columns}
\column{0.45\textwidth}
\begin{center}\includegraphics[scale=0.25]{fig_7_9.jpg}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.9：} 莱昂哈德·欧拉\end{center}
\column{0.45\textwidth}
\begin{center}\includegraphics{fig_7_10.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.10：} 一般旋转\end{center}
\end{columns}
\begin{block}{定理 1}
刚体绕固定点的最一般运动是绕通过该点的某根轴的旋转。
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
定义两个参考系 \(\mathcal{F}_1\) 和 \(\mathcal{F}_2\)。
\begin{columns}
\column{0.45\textwidth}
\begin{center}\includegraphics[scale=0.8]{fig_7_10.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.11：} 一般旋转\end{center}
\column{0.45\textwidth}
\[
a^\times\triangleq 
\begin{bmatrix}
0 & -a_z & a_y \\
a_z & 0 & -a_x \\
-a_y & a_x & 0
\end{bmatrix}
\]
\end{columns}
设旋转轴为 \(\vec a\)，旋转角度为 \(\phi\)：
\[ \vec{a} = \mathcal{F}_1^{\mathrm{T}} a \]
其中 \(a\) 是 \(\vec a\) 在 \(\mathcal{F}_1\) 系中的坐标。\\
则旋转矩阵可表示为：
\[ C_{12} = \cos \phi I + (1 - \cos \phi) a a^{\mathrm{T}} + \sin \phi a^\times \]
其中 \(a^\times\) 是对应于向量 \(a\) 的叉积算子矩阵。
\end{frame}

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\subsection{欧拉角}
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\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
\begin{block}{定义 7.4}
    \textcolor{red}{欧拉角}描述三个连续的基本旋转。
\end{block}
例如，一个可能的旋转序列为：
\begin{enumerate}
    \item 绕原始z轴旋转\(\psi\)（称为"偏航"旋转）
    \item 绕中间y轴旋转\(\theta\)（称为"俯仰"旋转）
    \item 绕变换后x轴旋转\(\phi\)（称为"滚转"旋转）
\end{enumerate}
\begin{center}\includegraphics{fig_7_12.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.12：} 欧拉旋转序列\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
这是航空航天领域常用的选择，称为\textcolor{blue}{3-2-1姿态序列}。\\
该术语与旋转顺序相关：
\begin{enumerate}
    \item 首先绕主z轴（标记为3）旋转
    \item 接着绕主y轴（标记为2）旋转
    \item 最后绕主x轴（标记为1）旋转
\end{enumerate}
此时，从参考系\(\mathcal{F}_1\)到\(\mathcal{F}_2\)的旋转矩阵为：
\begin{align*}
    C_{21}(\phi, \theta, \psi) =& C_x(\phi)C_y(\theta)C_z(\psi) \\
    =&\begin{bmatrix}
    c_\theta c_{\psi} & c_\theta s_{\psi} & -s_\theta \\
    s_\phi s_\theta c_{\psi} - c_\phi s_{\psi} & s_\phi s_\theta s_{\psi} + c_\phi c_{\psi} & s_\phi c_\theta \\
    c_\phi s_\theta c_{\psi} + s_\phi s_{\psi} & c_\phi s_\theta s_{\psi} - s_\phi c_{\psi} & c_\phi c_\theta
\end{bmatrix} \\
\end{align*}
其中\( s_b = \sin b \)，\( c_b = \cos b \)。
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
使用欧拉角描述旋转矩阵的一个缺点是会出现\textcolor{blue}{奇异性}问题：
\begin{itemize}
    \item 即存在无法唯一确定三个参数的旋转情况
\end{itemize}
对于上述3-2-1序列，当俯仰角\(\theta = \pm 90^\circ\)时会出现\textcolor{blue}{奇异性}。  
\begin{itemize}
    \item 例如当\(\theta = 90^\circ\)时，旋转矩阵变为：  
    \[C_{21}(\phi, 90^\circ, \psi) = 
    \begin{bmatrix}
    0 & 0 & -1 \\
    \sin(\phi - \psi) & \cos(\phi - \psi) & 0 \\
    \cos(\phi - \psi) & -\sin(\phi - \psi) & 0
    \end{bmatrix}\]
\end{itemize}
此时，滚转角\(\phi\)和偏航角\(\psi\)无法被唯一确定。
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{四元数}
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\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
为定义四元数，我们首先需要从旋转主轴$a$和旋转角$\phi$的角度重新审视旋转矩阵：
\[
C_{21} = \cos \phi I + (1 - \cos \phi) aa^T - \sin \phi a^\times
\]
利用三角恒等式，可将旋转矩阵改写为：
\[
C_{21} = \left( 2 \cos^2 \frac{\phi}{2} - 1 \right) I + 2 \sin^2 \frac{\phi}{2} aa^T - 2 \sin \frac{\phi}{2} \cos \frac{\phi}{2} a^\times
\]
\textcolor{blue}{基于此，我们定义四元数的向量部分和标量部分为：}
\[
\epsilon = a \sin \frac{\phi}{2}, \quad \eta = \cos \frac{\phi}{2}
\]
其中
\[
\epsilon = 
\begin{bmatrix}
\epsilon_1 \\
\epsilon_2 \\ 
\epsilon_3
\end{bmatrix}
\]
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{角速度}
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\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
考虑相对于$\mathcal{F}_1$以角速度$\vec{\omega}$旋转的参考系$\mathcal{F}_2$。
\begin{center}\includegraphics{fig_7_13.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.13：} 角速度示意图\end{center}
基于欧拉角的运动学方程为：
\[
\begin{bmatrix}
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi}
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
1 & \sin \phi \tan \theta & \cos \phi \tan \theta \\
0 & \cos \phi & -\sin \phi \\
0 & \sin \phi \sec \theta & \cos \phi \sec \theta
\end{bmatrix} \omega
\]
其中$\vec{\omega} = \vec{\mathcal{F}}_2^T \omega$。
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
基于四元数的运动学方程为：
\begin{align*}
    & \dot{\epsilon} = \frac{1}{2} (\eta I + \epsilon^\times) \omega \\
    & \dot{\eta} = -\frac{1}{2} \epsilon^T \omega \\
\end{align*}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{刚体}
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\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
航天器结构通常具有一定柔性（即可发生弹性形变），\\
但在多数情况下可近似为刚体（即不发生形变）。
\begin{block}{定义 7.5}
刚体是指任意两点间距离保持不变的连续体。
\end{block}
\end{frame}

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\subsection{转动动力学}
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\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
\begin{center}\includegraphics{fig_7_14.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.14：} 刚体转动动力学模型\end{center}
\begin{block}{定义 7.6}
定义关于质心$c$的惯性矩阵为：
\[I \triangleq -\int_V \rho^\times \rho^\times \, \text dm\]  
\end{block}
作用于刚体关于$c$点的总外力矩为：
\[\vec{T}_c = \int_V \vec{\rho} \times \vec{f}\text dV\]
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
刚体动力学方程（欧拉方程）表示为：
\[I \dot{\omega} + \omega^\times I \omega = T_c\]
\end{frame}
